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Nome: SSIS VIII° Laboratorio di Didattica Generale
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Il matematico "pittore"
Il matematico non può sfuggire all’ ansia di mostrare
come la sua disciplina sia una vera arte,
con una sua intrinseca bellezza!
Avete mai visto questa immagine?
E' l'immagine presente sulla copertina del testo scolastico con cui la Ghisetti e Corvi ha presentato il testo di matematica della Dodero, Baroncini, Manfredi nell'edizione del 2001.
Vi siete mai chiesti qual'è il suo significato matematico?
E ancora, utilizzate un pò di fantasia....a quale famosa opera d'arte potrebbe assomigliare?
L’immagine è stata creata da Bahamas Kalantari ed è il risultato di un mix di matematica, informatica e “arte nella sua eccezione più generale!
La matematica direte voi ma come?
Beh, si proprio la matematica, la tecnica è infatti basata sull’approssimazione delle soluzioni delle equazioni algebriche che lui appunto battezzò “Polyomiography”.
Il celebre metodo ricorsivo di Isac Newton consiste nel trovare una successione di numeri che, al crescere di n, si avvicini sempre più alla radice , ovvero ne approssimi il valore; l'insieme di tali valori è il “bacino di attrazione”.
Colorando diversamente i bacini di attrazione delle diverse soluzioni reali di un’ipotetica equazione algebrica e lasciando bianche le zone contenenti valori iniziali che non portano da nessuna parte, si otterrebbe una striscia colorata del tipo
Con le conoscenze acquisite sui numeri complessi per quale motivo, secondo voi, questo metodo produce un effetto grafico diverso sulle equazioni algebriche con soluzione nell'insieme dei numeri complessi?
Secondo quale accezione, questa, potrebbe essere considerata una forma d’arte? È più matematica nell’arte o arte nella matematica? Sembra un gioco di parole ma a me sembra sia invece ARTE DELLA MATEMATICA!!!
Voi cosa ne pensate?
Un pizzico di Matematica ed un pò di Arte
Chi di noi, in spiaggia o nella sala d'aspetto di una stazione ferroviaria, non ha ingannato il tempo cercando di riempire la griglia di caselle bianche e nere?
A metà strada tra retorica e matematica, l'enigmistica è l'arte di giocare con le parole, di rivoltarle, rendendole altro da quello che sono o appaiono.
La lingua è una miniera di possibilità: l'importante è non fermarsi alla superficie delle cose, ma andare sempre oltre, cercando di scoprire cosa si nasconde dietro le apparenze.
Metti alla prova la tua preparazione con il cruciverba d’arte!
Un’occasione unica per imparare divertendoti!
Esperimenti con il nastro di Moebius
Il Nastro di Moebius, realizzabile con una strisciolina di carta, larga qualche centimetro, incollata agli estremi, dopo averne dato un mezzo giro di torsione, è una delle figure più straordinarie e sorprendenti del mondo matematico, dalle mille imprevedibili trasformazioni ed applicazioni.
La popolarità del nastro di Moebius è arrivata ben oltre la matematica, dapprima come semplice gioco e poi coinvolgendo maghi, artisti e scienziati.
Per scoprire il grande, affascinante mondo di questa strisciolina di carta è sufficiente, muniti di colla e forbici, avere la pazienza di costruirne una per restare sbalorditi di fronte alle sue caratteristiche.
Allora iniziamo: tagliamo, cuciamo ed incolliamo!!!!!
Esperimento 1
Facciamo compiere al foglio mezzo giro nel senso della lunghezza ed incolliamolo agli estremi.
Se proviamo a percorrere con un dito la superficie dell’anello, scopriamo che ritorniamo al punto di partenza senza mai staccare il dito. Prima scoperta: l’anello di Möbius non ha due facce, una inferiore e una superiore, a differenza di un normale anello di carta, cioè di un cilindro, ha una sola superficie.
Proviamo a tagliare l’anello a metà. Contrariamente a quanto ci potremmo aspettare, non avremo due nastri, ma uno solo più lungo. La superficie ottenuta non è più un nastro di Moebius perché ha due facce e due bordi ed effettua quattro mezze torsioni.
Tagliamo ancora a metà la striscia così ottenuta e, sorpresa, otteniamo due anelli concatenati.
Esperimento 2
Facciamo compiere al foglio mezzo giro nel senso della lunghezza ed incolliamolo agli estremi.
Tagliamo a circa un terzo della larghezza il nastro per tutta la sua lunghezza e, sopresa, otteniamo così due superfici: una è un nastro di Moebius, l'altra è una striscia con una torsione di 360°, essa ha due bordi e due facce, quindi non è una superficie di Moebius.
Tom Longtin, Trefoil Möbius Gear, 1997
Provate a variare il numero delle torsioni oppure dei tagli successivi del nastro. Otterrete risultati sempre sorprendenti.
Provate ad individuare la relazione matematica esistente tra numero di torsioni e/o tagli e tipologia di superficie ottenuta.
Le Coniche e l'arte
Un campo in cui le coniche rivestirono una notevole importanza fu l’arte, principalmente durante il Rinascimento e il Barocco. Nel Rinascimento le coniche (diverse dalla circonferenza) non sono più pure forme geometriche, ma si ritrovano nelle forme prospettiche di pittori e architetti. Quindi durante il Barocco la forma di ellisse compare negli archi e in alcune costruzioni. Infatti una caratteristica dell’arte di questo periodo è l’uso privilegiato che si fece della linea curva: in questo periodo tutto deve prendere andamenti sinuosi, persino le gambe di una sedia o di un tavolo devono essere curvi. Le curve che un artista barocco usa non sono mai semplici, quali un cerchio, ma sono sempre più complesse, come le ellissi. Ne sono un esempio le chiese a pianta ellittica risalenti a questo periodo.
Analizzando con maggior dettaglio il rapporto fra Arte e Matematica, Guarini rappresenta indubbiamente una delle figure più interessanti di tutti i tempi. Legato alla tradizione ma profondamente attratto dalle scoperte scientifiche della sua epoca, è un intellettuale poliedrico: egli stesso si definisce teologo, filosofo, matematico oltre che architetto e pare che proprio la Matematica, al cui studio comincia ad avvicinarsi a Roma, dove si reca nel 1639 dopo essere entrato nell’ordine dei Teatini, lo abbia introdotto all’architettura.
A questo punto propongo un link per far conoscere agli alunni più curiosi chi era Guarino Guarini:
matematica.unibocconi.it/GuarinoGuarini/guarino-scienza.htm
Dal periodo barocco (XVII secolo) in poi, la forma ellittica è diventata un elemento decorativo che architetti e artisti hanno molto utilizzato nelle loro opere. Un esempio per tutti è la pianta ellittica della chiesa di S. Andrea al Quirinale, di Lorenzo Bernini.
1) A Larderello, in provincia di Pisa, sono stati costruiti, nel secondo dopoguerra, impianti per la produzione di energia elettrica, sfruttando gas vulcanico. Fanno parte di questa costruzione quattro torri di raffreddamento, aventi la forma di giganteschi iperboloidi. Geometricamente, questi iperboloidi sono detti "a sella" e un qualsiasi piano che passa per il loro asse li seziona secondo delle iperboli.
2)In Australia, a Canberra, il palazzo del parlamento ha un profilo esterno che fa pensare a un'iperbole.
Tobia Ravà artista e "matematico"
Parlare di numeri in un’opera d’arte,
può sembrare una stranezza, ma la
creatività dello spirito artistico non ha limiti!
Osservate bene tale capolavoro artistico perché siete di fronte a una tecnica pittorica pressoché unica nel suo genere!
L’occhio che ammira tale immagine vede al primo impatto la rappresentazione di uno scorcio paesaggistico che ricorda verosimilmente Venezia, ma poi quasi contemporaneamente, lo sguardo dello spettatore percepisce la “costruzione” dell’immagine che, nell’avvicinarsi si sgretola in migliaia di simboli matematici e di lettere antiche dell’alfabeto ebraico.
Cifre e lettere “sfidano” l’occhio e la mente promettendo nuovi scenari e significati, sottesi appunto al tranquillo impatto paesaggistico.
Questo è uno dei tanti dipinti del contemporaneo pittore veneziano Tobia Ravà; un artista del tutto originale, le cui opere pongono dubbi e riflessioni agli appassionati d’arte di tutto il mondo.
Il mondo illustrato da Ravà è quello pitagorico, la cui essenza è sintetizzata dal motto: tutto è un numero. Nei suoi quadri si coglie la natura come deve essere nel profondo: riducibile a un dispiegamento di numeri colorati che si combinano in infinita varietà, veri e propri atomi pitagorici, a costituire cielo, acqua, terra, piante, fiumi, strade, case, ...
I numeri che si vedono nei quadri non sono dunque messi a caso, per fare “colore”, ma attendono di essere letti, interpretati e compresi.
Visitate il sito e scopritelo!
Potrete così ammirare tutti i suoi capolavori e tenervi informati sulle date in cui potrete ammirare personalmente la sua arte, in una delle tante mostre che è possibile visitare.
Che impressione e che emozioni vi ha suscitato l’arte di Tobia Ravà?
Scoprite voi quali? Assicuro, troverete idee e argomentazioni particolarmente originali!
Le illusioni di Escher
L'artista olandese Maurits Cornelis Escher fu un geniale creatore di illusioni, di mondi ed oggetti irreali che ad una sommaria occhiata possono ingannare ed apparire reali, rivelando ben presto nascoste sorprese.
Il segreto di quella che può sembrare una fantasia immaginativa fuori del comune, legata, naturalmente, ad una eccezionale capacità grafica, è in verità molto poco fantasioso, sono infatti la matematica, la geometria, la cristallografia, passioni tanto forti in Escher quanto quella artistica.
Nel 1936, in seguito ad una visita all’Alhambra di Granata, in Spagna, il magnifico palazzo arabo del XIV sec., Escher rimase colpito dalle decorazioni minuziose e da lì in poi le sue opere acquistarono un carattere più geometrico.
In funzione del tema trattato le opere di Escher possono suddividersi in tre categorie:
Cicli infiniti: In questa serie, Escher è affascinato dal continuo, dalla regolarità e dalla periodicità.
Nei quadri raffigura il nastro di Möbius, oppure situazioni irreali con una prospettiva ingannevole, in cui il corso dell’acqua o i gradini di una scala sembrano in un percorso chiuso.
Divisione regolare del piano: In questa seconda serie, il piano viene sezionato in parti uguali tantissime volte in modo da rendere l’idea di ripetizione e di infinito.
L’abilità di Escher sta nel trovare geniali figure che si incastravano perfettamente tra loro.
Limiti: L’ultima serie include dipinti che ripropongono la scomposizione del piano in parti uguale come la serie precedente, ma questa volta le figure si rimpiccioliscono mano a mano o verso la circonferenza di un cerchio o verso l’interno di una spirale. L’effetto ottico ricavato è di profondità e di infinitamente piccolo.
Anche se Escher non si distinse mai in matematica, pare che i suoi quadri si ricollegassero a concetti matematici astratti: ad esempio, Limite del cerchio III è la raffigurazione artistica del modello di Poincarè, il quale fu l’ideatore di una geometria non-euclidea che si sviluppa sulla superficie di una sfera, anziché di un piano.
Secondo te questo straordinario inventore di costruzioni ambigue è un matematico prestato all'arte o un artista prestato alla matematica?
"Sto dipingendo l'infinito"
Nel corso degli anni pittori, scrittori, filosofi, matematici ed esploratori hanno manifestato differenti sensazioni e percezioni nei confronti del concetto di "infinito"; ad esempio Van Gogh e tanti altri aspirarono sempre a raggiungere l’infinito e ad assaporarne un poco della sua immensità, altri, invece, provarono il sentimento opposto: l’ebreo Martin Buber (1878-1995) scrisse addirittura di aver sfiorato il suicidio per la sua paura di fronte all’infinito.
L’infinito acquista per ognuno una diversa raffigurazione: per gli esploratori è il mare, i grandi deserti, le vaste pianure; per altri, come il pittore Vasilij Kandinskij o il fisico John Tyndall o il musicista Gustav Mahler, l’infinito è associato al silenzio, eterno e vuoto, e lo spagnolo Joan Mirò associò a questo perenne silenzio il colore blu, forse attingendo al colore del cielo.
E tu come percepisci l'infinito? Come lo rappresenteresti?
Il fascino della simmetria
“La simmetria esercita una forte attrazione tanto sugli artisti quanto sugli scienziati: essa è intimamente associata al fatto che gli uomini preferiscono istintivamente la regolarità. La simmetria è associata a molte fra le regolarità più profonde della natura, ed è fondamentale per la nostra attuale comprensione scientifica dell’universo. I princìpi di conservazione [……] esprimono una simmetria che crediamo sia posseduta dall’intero continuo spaziotemporale […..]” , da un testo di Ian Stewart e Martin Golubitsky, “Fearful Symmetry. Is God a Geometer?” , Bollati Boringhieri editore, 1995.
La simmetria termine greco che significa "giusta proporzione, equilibrio", raggiunge il massimo della sua significatività in epoche antropocentriche come il Rinascimento, periodo in cui “Il più noto emblema della simmetria umana è il disegno di Vitruvio, reso popolare da Leonardo, che raffigura il corpo con le gambe e le braccia divaricate dentro un cerchio e un quadrato, i cui centri coincidono con l’ombelico.
Questa simmetria , presente in natura, l’uomo l’ha spesso trasmessa alle proprie creazioni, a cominciare da quelle architettoniche: le piramidi di Giza, il Colosseo, Castel del Monte
Attività:
Conosci gli edifici sopra citati?
Prova a cercare una loro immagine in rete e scopri la logica matematica utilizzata per la loro costruzione..
La simmetria delle parti ha sempre un significato intrinseco più profondo e non solo estetico..
SEZIONE AUREA E ARTE
“La sezione aurea è una dimostrazione meravigliosa del fatto che l’uomo creatore e la natura si servono degli stessi strumenti, nel creare le forme, per arrivare alla bellezza."
Affinché un oggetto sia armonioso, ogni sua parte deve essere in relazione con le altre. Gli oggetti allora ci sembrano “belli” e noi reagiamo positivamente perché mettono in relazione il prodotto dell’uomo al mondo naturale.
Uno dei più antichi rapporti usati per proporzionare gli oggetti è la Sezione Aurea.
La sezione aurea è un rapporto di numeri, molto particolare, che incontriamo ovunque e che contribuisce alla bellezza di tutto ciò che ci circonda.
La sezione aurea è stata definita così solo nel 1800, ma la sua storia ha avuto origine nella Grecia classica. Essa era nota ai Pitagorici, a Platone che ne parla nei suoi scritti ed a Euclide, che la menziona in diverse parti degli Elementi.
I Pitagorici scoprirono che il lato del decagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio r è la sezione aurea del raggio e costruirono anche il pentagono regolare intrecciato o stellato, o stella a cinque punte che i Pitagorici chiamarono pentagramma e considerarono simbolo dell’armonia e assunsero come loro segno di riconoscimento, ottenuto dal decagono regolare congiungendo un vertice si ed uno no.
Keplero (XVI – XVII secolo), che fondava la sua teoria dei cieli sui cinque solidi platonici, sulla proporzione divina dichiarava che:“la geometria ha due grandi tesori: uno è il teorema di Pitagora, l’altro è la divisione di un segmento in estrema e media ragione: il primo può essere paragonato ad un sacco di oro, il secondo ad un gioiello prezioso”, infatti lo definisce “sectio divina”.
La sezione aurea, in quanto legge strutturale del corpo, ha conosciuto in Leonardo da Vinci (1452-1519) un geniale assertore.
Utilizzando la sezione aurea nei suoi dipinti Leonardo ha scoperto che, guardando le opere, si poteva creare un sentimento di ordine. In particolare ha incorporato il rapporto aureo in tre dei suoi capolavori: La Gioconda, L’ultima cena e L’uomo di Vitruvio.
La sezione aurea ha affascinato altri pittori, come Botticelli (1445-1510) con La Venere.
Di seguito vengono riproposte le suddette opere. Prendendo spunto dalla prima, di cui viene inserita una breve descrizione sull’utilizzo della sezione aurea, si lasciano le rimanenti opere da commentare ad ogni singolo lettore.
Nella Gioconda il rapporto aureo è stato individuato:- nelle dimensioni del viso
- nell’area che va dal collo a sopra
- le mani
- in quella che va dalla scollatura dell’abito fino a sotto le mani
La svolta del Rinascimento...la prospettiva
“ Quelli che si innamorano della pratica senza la scienza sono come nocchieri che entrano in naviglio senza timone o bussola, che mai hanno certezza dove si vadano. Sempre la pratica che deve essere edificata sopra la buona teoria, dalla quale la prospettiva è guida e porta, e senza questa nulla si fa bene”. Leonardo da Vinci
Il Rinascimento (1400 - 1520)
Nei primi anni del XV secolo a Firenze si afferma un movimento artistico fortemente innovativo i cui promotori si identificano in Filippo Brunelleschi (per l’architettura), Donatello (per la scultura) e Masaccio (per la pittura).
Il movimento si propose di recuperare il legame dell’arte con le origini romane e quindi il naturalismo che era proprio delle civiltà classiche. Per questa rivisitazione dell’antichità classica venne definito nel corso dell’800: Rinascimento.
In particolare le caratteristiche salienti del Rinascimento si possono riassumere in:
1. Uso della prospettiva lineare centrica.
2. Attenzione rivolta all’uomo.
3. Ricerca di sintesi ed essenzialità.
La Prospettiva
Per prospettiva si intende ogni sistema atto a rappresentare su un piano la tridimensionalità dello spazio. La parola prospettiva deriva dal latino ‘perspectiva’ che in origine voleva dire appunto ‘ottica’. Nei primi anni del Quattrocento Brunelleschi mette a punto un sistema che consente, attraverso precise norme geometriche, di restituire in modo misurabile tanto la profondità quanto le dimensioni proporzionali delle figure. Il principio fondamentale su cui si basava era un sistema per cui le rette delle linee del disegno concorrono verso un unico punto di fuga stabilito dall’artista.
Se l’invenzione della prospettiva lineare centrica spetta così a Brunelleschi, la sua trattazione teorica si deve però a Leon Battista Alberti che vi dedicò il suo trattato “Della Pittura” (1436). Secondo l’Alberti la prospettiva nasce dall’intersezione della piramide visiva formata dai raggi rettilinei che partono dall’occhio dell’osservatore in direzione degli oggetti. La perpendicolare condotta dall’occhio al piano pittorico individua il punto di fuga verso cui convergono tutte le linee del dipinto.
Due sono le tipologie fondamentali di prospettiva: prospettiva lineare centrale - convergenza delle linee di profondità - e prospettiva accidentale - con due punti di fuga delle linee di profondità.
L'Annunciazione di Piero della Francesca offre un perfetto esempio di prospettiva centrale...l'artista colloca il punto di fuga in fondo al porticato, proprio dove convergono le linee parallele della volta.
I Protagonisti del Rinascimento
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Filippo Brunelleschi (1377-1466)
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Donatello (Donato di Niccolò di Betto Bardi, detto) (Firenze, 1386 – Firenze, 1466)
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Masaccio (Tommaso di Giovanni detto) (San Giovanni Valdarno, 1401 – Roma, 1428)
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Leon Battista Alberti (1404-1472)
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Beato Angelico ( Guido di Pietro, detto)(Vicchio di Mugello, 1400 c – Roma, 1455)
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Leonardo da Vinci (1452-1519) (architetto, ingegnere, fisico e matematico)
I trattati
§ Leon Battista Alberti, importante teorico dell’arte rinascimentale, fu il primo a codificare la prospettiva geometrica e lo studio sistematico dei monumenti del passato in alcune sue opere: De statua, De Pictura, De re aedificatoria
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Piero della Francesca: De prospectiva pingendi
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…
Link
http://www.italica.rai.it/rinascimento/categorie/prospettiva.htm
...questi sono solo alcuni spunti...il tema è vasto, a voi la libera divagazione...
